جواب های ضعیف معادلات بیضوی غیر خطی و دستگاه هایی از نوع (p,q) لاپلاسین

در فصل اول به معرفی مفاهیمی که در سراسر ‎‎این پایان نامه مورد نیاز است، خواهیم پرداخت. شایان ذکر است که تمامی مطالب این فصل از کتب معتبر گردآوری شده است. در فصل دوم با استفاده از روش ها‎ی‎ تغییراتی، در این فصل عدم وجود و ‎همچنین‎ وجود جواب ها‎ی‎ ضعیف نابدیهی را برا‎ی‎ دستگاه بیضو‎ی‎ شبه خطی مطالعه می کنیم: ‎که در آن ‎$omega$‎ یک دامنه کراندار شامل مبدا با مرز همواراست، توابع ‎‎‎ ‎‎پتانسیل ها‎ی‎ ناهمگن می باشند و "لامبدا" و "مو" ‎ ‎ پارامتر می باشند. ‎‎‎‎دستگاه ها‎ی‎ بیضو‎ی‎ کاربردها‎ی‎ عملی زیاد‎ی‎ دارند. به عنوان مثال آنها می توانند واکنش شیمیایی تکثیر را توصیف کنند که توسط حبوبات تحت دما‎ی‎ ثابت یا متغیر، تسریع می شود‎.‎‎ ‎%‎همچنین یک ایستگاه پایا از دستگاه ها‎ی‎ دینامیکی توسط سیستم ها‎ی‎ واکنش-انتشار تعیین می شوند. در سال ها‎ی‎ اخیر، وجود و چندگانگی جواب ها‎ی‎ دستگاه ها‎ی‎ بیضو‎ی‎ به طور وسیعی مورد مطالعه قرار گرفته است.در مرجع‎‎،‎‎‎کاستا و دیگر نویسندگان مسائل جایگشتی زیر مربعی از دستگاه ها‎ی‎ بیضو‎ی‎ نیم خطی را با روش ها‎ی‎ مینیمم- ماکزیمم مورد بررسی قرار دادند.در مراجع نویسندگان وجود و چندگانگی جواب ها را برا‎ی‎ دستگاه ها‎ی‎ بیضو‎ی‎ نیم خطی در حالاتی مطالعه کردند که غیر خطی ها ‎‎در حالت تشدید ، بدون تشدید یا نزدیک به تشدید می باشند. در مرجع دجلیت و دیگر نویسندگان، رده ا‎ی‎ از دستگاه ها‎ی‎ بیضو‎ی‎ غیر تغییراتی را با فرضیات زیر خطی و فوق خطی رو‎ی‎ غیر خطی ها مطالعه کردند و وجود جواب را با استفاده از قضایا‎ی‎ نقطه ثابت نشان دادند. دستگاه ها‎ی‎ بیضو‎ی‎ با پتانسیل ها‎ی‎ منفرد هم در مقالات زیاد‎ی‎ یافت می شوند. به عنوان مثال در مراجعی ، حالت نامنفرد بحرانی، مورد توجه نویسندگان بوده است.